Ecuación de la hipérbola con centro (h,k)

DEMOSTRACIÓN.

FÓRMULA.

VIDEO EXPLICATIVO.

EJEMPLO.  Encuentre el centro, los vértices, los focos y las asíntotas de la hipérbola

Solución.

Gráfica.

EJERCICIOS PARA RESOLVER.

En los problemas del 1 al 5, hallar la ecuación de la hipérbola según las indicaciones dadas.

1. Centro( 2,-1); Foco (2,-3), vértice (2,-2)
2. Centro(3,2) ; Foco (3,0), vértice en (3,3)
3. Focos (2,-4) y (2,2), un vértice (2,-3).
4. Vértices (5,2) y (-1,2) ; un foco (7,2)
5. Centro (-5,3); vértice (-2,3) pasando por  (3+2.23,-5)

Ecuación de la hipérbola con centro en el orígen.

Demostración.

Ecuación de la hipérbola con centro en el orígen.

VIDEO EXPLICATIVO.

EJEMPLO. Encuentre los vértices, los focos y las asíntotas de la hipérbola 

Solución.

Gráfica. 

Ejercicios para resolver.

En los problemas del 1 al 5 , encuentre una ecuación de la hipérbola que satisfaga las condiciones dadas.

1. Focos (4,0), a=2

2. Focos (+-3,0), b= 1

3. Focos (0,+-5), un vértice en (0,-3)

4. Focos(0,+-6) y la longitud del eje transverso 8.

5. Focos (0,+-2) y la longitud del eje transverso 3.

LA HIPÉRBOLA.

LA HIPÉRBOLA.

DEFINICIÓN. La hipérbola es el conjunto de todos los puntos P en el plano tales que el valor absoluto de la diferencia de las distancias entre P t dos puntos fijos F1 y F2 es constante  Los dos puntos fijos se llaman focos. El punto medio del segmento que une los focos se llama centro.

ELEMENTOS DE LA HIPÉRBOLA.

APLICACIONES DE LA HIPÉRBOLA.

Ecuación de la parábola con centro (h,k)

VIDEO EXPLICATIVO.

EJEMPLO. Encuentre la ecuación en forma estándar de l parábola con vértice en (-3,-1) y directriz y=2.

Solución.

Gráfica.

Ejercicios para resolver.

En los problemas del 1 al 5, encuentre la ecuación de la parábola según las indicaciones dadas:

1. Foco (3,2) y directriz en y=-2

2. Foco (-1,3) y directriz x=1

3.Vértice en (2,3) y directriz x=3

4. Foco (1,6) y vértice en (1,3)

5. Vértice en (3,4) y directriz x=-3

Ecuación de l parábola con centro en el orígen.

DEMOSTRACIÓN.

Fórmulas.

VIDEO EXPLICATIVO.

EJEMPLO.

1. Encuentre le ecuación en forma estándar de la parábola con directriz y=2 y foco (0,-2). Grafique la parábola.

Solución.

Ejercicios para resolver.

En los problemas 1 al 5, encuentre la ecuación de la parábola que satisfaga las condiciones dadas:

1. Foco (3,0) y directriz x=-3.

2. Foco (4/3,0) y vértice (0,0)

3. Vértice (0,0) y directriz y=3/2

4. Vértice (0,0), eje a lo largo del eje x, pasa por (1,-4)

5. Vértice (0,0), directriz x=-2

LA PARÁBOLA.

Definición. Una parábola se define como el conjunto de todos los puntos P en el plano que están a la misma distancia de un punto fijo F y de una lpinea fija D. El punto F se llama foco de la parábola y la línea D es una directriz. Una parábola es entonces, el conjunto de puntos para los cuales :

Elementos de la parábola.

Aplicación de la parábola 

Las aplicaciones de las parabolas son basicamente aquellos fenomenos en donde nos interesa hacer conveger o diverger un haz de luz y sonido principalmente. Por ejemplo las antenas parabolicas, las lamparas sordas, los faros de los autos. Se pueden construir, por la misma propiedad de las parabolas, hornos solares. Los microfonos de ambiente en algunos deportes tambien tienen forma paraboloidal.

Las parábolas tienen una propiedad  Si se coloca una bombilla encendida en el foco de la parábola, algunos haces de luz serán reflejados por la parábola y todos estos rayos serán perpendiculares a la directriz. Esta propiedad es usada en las lámparas sordas o en los faros de los automóviles estos están formados por un paraboloide (parábola en 3 dimensiones) de espejos y una bombilla en el foco de este paraboloide. En algunas lámparas se puede mover la bombilla del foco y los haces de luz divergeran o convergerán. Este principio funciona también en las antenas parabólicas. Un satélite envía información a la Tierra, estos rayos serán perpendiculares a la directriz por la distancia a la que se encuentra el satélite. Al reflejarse en el plato de la antena (blanca, casi siempre) los rayos convergen en el foco en donde se encuentra un receptor que decodifica la información. También en los telescopios se usa esta propiedad.

En el siglo XVI Galileo demostró que la trayectoria de un proyectil que se dispara al aire formando un ángulo con la horizontal es una parábola. Desde entonces, las formas parabólicas se han usado para diseñar fanales de automoviles, telescopios reflectores y puentes colgantes.

Ecuación de la elipse con centro (h,k)

FÓRMULA.

VIDEO EXPLICATIVO.

EJEMPLO. Encontrar los focos y los vértices de la elipse cuya ecuación es 

Solución.

Gráfica.

EJERCICIOS PARA RESOLVER.

En los problemas del 1 al 3, encuentre el centro los focos y los vértices de la elipse dada.

1. 

2. 

3. 

En los problemas 4 y 5, encuentra una ecuación de la elipse que cumpla las condiciones dadas.

4. Centro (-2,2), un foco en (-2,4), a =6.

5. Extremos del eje mayor en (4,2) y (4,13), un foco en (4,4).